Mathématiques de base Exemples

$\frac{- 5}{1 + 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 5}{1 + 3 i}$ par le conjugué de $1 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 5}{1 + 3 i} \cdot \frac{1 - 3 i}{1 - 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{- 5 (1 - 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 \cdot 1 - 5 (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{- 5 - 5 (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 + 3 i) (1 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 + 15 i}{1 (1 - 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 + 15 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 + 15 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 3 i$ et $3 i$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{1 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $9$ .

$\frac{- 5 + 15 i}{10}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $- 5 + 15 i$ et $10$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1) + 15 i}{10}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $15 i$ .

$\frac{5 (- 1) + 5 (3 i)}{10}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 1) + 5 (3 i)$ .

$\frac{5 (- 1 + 3 i)}{10}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (- 1 + 3 i)}{5 \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 1 + 3 i)}{5 \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + 3 i}{2}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{- 1 + 3 i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{- 1}{2} + \frac{3 i}{2}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}$